Álgebra linear: representar, projetar e ajustar

Crie um arquivo algebra.mjs para executar com Node. Escreva no caderno que dot recebe dois vetores finitos de igual comprimento e devolve um escalar. Escreva também que matvec recebe uma matriz não vazia e um vetor com dimensão igual ao comprimento de cada linha. Essas condições evitam um problema silencioso de JavaScript: multiplicar undefined pode gerar NaN, e uma redução que percorre apenas a primeira lista pode ignorar valores da segunda. Um teste precisa provocar cada um desses casos para mostrar que o contrato foi defendido.

Antes de implementar, calcule dot([1,2],[3,4])=11 e matvec([[1,0],[1,2]],[3,0.5])=[3,4]. Esses resultados manuais serão oráculos: referências independentes da função testada. Não gere a expectativa chamando a mesma função com outros nomes. Para números de ponto flutuante, compare diferenças absolutas com tolerância pequena neste exemplo, porque frações como 7/6 não têm representação binária exata. Uma tolerância absoluta fixa é suficiente para nossas magnitudes pequenas, mas um componente genérico precisa considerar escala relativa e erro acumulado.

A função project primeiro calcula v·v. Se o resultado for zero, ela deve lançar um erro antes de dividir. Depois calcula u·v, encontra o coeficiente e multiplica todas as coordenadas de v. Confira o caso [2,1] e [1,1] no papel: numerador três, denominador dois, saída [1.5,1.5]. Agora experimente trocar o denominador por uma norma sem quadrado. O programa ainda poderá retornar números plausíveis, porém falhará no teste de perpendicularidade. Esse experimento ensina a testar uma propriedade matemática, em vez de apenas observar um valor com aparência razoável.

↗ 18.06 Linear Algebra — syllabus

O teste com direção [2,2] deve dar a mesma projeção. Registre por que esse teste é importante: a direção mudou de representação, mas a linha continuou a mesma. Se houver dificuldade, desenhe ambos os vetores sobre a diagonal do plano. Em seguida tente a direção [0,0] e um vetor contendo NaN. A resposta esperada é uma exceção descritiva, pois devolver um vetor de zeros esconderia a ausência de direção. Na revisão, dê um ponto por cada propriedade demonstrada: dimensão compatível, escala da direção e rejeição da direção nula.

Para ajustar a reta, acumule n, soma de x, soma de y, soma de x² e soma de xy. Nos dados da atividade, esses totais são 3, 3, 5, 5 e 6. O determinante n vezes soma de x² menos o quadrado da soma de x vale seis. Os numeradores do intercepto e da inclinação valem sete e três, respectivamente. Dividir por seis produz 7/6 e 0.5. Essa implementação de duas variáveis é legível para a investigação; ela não é uma recomendação para resolver sistemas grandes por fórmulas de determinantes.

Faça o caso negativo x=[1,1,1]. O determinante passa a ser zero, porque as colunas [1,1,1] e x descrevem a mesma direção. O laboratório deve parar com a mensagem colunas dependentes. É tentador somar uma quantidade minúscula ao denominador apenas para continuar, mas isso altera o problema sem explicitar a hipótese. Uma regularização pode ser uma decisão legítima em outra modelagem; aqui queremos detectar a impossibilidade de separar os parâmetros. Inclua essa diferença no relatório: erro de entrada, falta de identificação e decisão de modelagem são diagnósticos distintos.

Depois de obter theta, use matvec para produzir as três previsões. Subtraia previsão de observação, preservando a convenção da leitura. Calcule os produtos internos do resíduo com a coluna constante e com x. Ambos devem ser próximos de zero. Se somente a soma simples for zero, o intercepto pode estar correto enquanto a inclinação continua errada. Inverta de propósito os parâmetros e observe quais verificações quebram. Não interprete a quebra como falha de assert: ela mostra que o teste distingue uma solução válida de uma troca de colunas.

Repita o ajuste usando [0,100,200]. A inclinação deve ser 0.005 e cada previsão deve coincidir com a anterior. O teste percorre todos os registros, porque comparar apenas o primeiro ponto, onde x vale zero, não exercita a inclinação. Registre os resultados e escreva uma recomendação operacional limitada: a calculadora explica estas observações e detecta alguns erros básicos, mas três casos não bastam para escolher uma família de modelos. A aprovação exige contas manuais, propriedades executadas e uma limitação concreta; imprimir apenas os parâmetros não completa o laboratório.